자산의 수
포트폴리오 이론(1) - 기대값, 분산, 공분산 그리고 상관계수
대학교 시절 얕은 수준으로 포트폴리오 이론을 배웠다. 간단한 내용이었지만, 동시에 가장 유용한 이론이었다. 포트폴리오 이론의 핵심은 "자산을 '잘' 섞으면 좋은 결과를 기대할 수 있다"는 것
위의 내용을 안다는 전제 하에 포트폴리오 기대수익률과 리스크를 알아보자.
일단 X, Y라는 위험상품이 있다고 치자. 위험상품이므로 각 상품의 수익률은 확률적으로 결정되는 확률변수이다.
그리고 각 상품의 수익률의 가중평균으로 결정되는 포트폴리오 수익률 역시 확률변수일 것이다.
또 한가지 전제할 것은 자산의 전부를 X 혹은 Y에 투자할 것이라는 것.
즉, Wx(X상품의 비중)과 Wy(Y상품의 비중)의 합은 Wx+Wy=1이다.
X, Y의 수익률을 각각 Rx와 Ry로 표시해보자. 그리고 포트폴리오 수익률은 Rp라고 치자.
그러면 X, Y로 구성된 포트폴리오의 수익률은
Rp = WxRx + WyRy의 꼴로써 Rx와 Ry의 가중평균이 된다.
이때 포트폴리오 기대수익률은
E(Rp) = E(WxRx + WyRy)가 되며, Wx, Wy는 투자자가 정하면 그만인 수이므로 상수취급하면
= WxE(Rx) + WyE(Ry)가 된다.
다음은 포트폴리오 리스크이다.
경영에서 리스크는 일상에서의 부정적인 의미가 아니다.
예측 불가능성, 즉 기대치로부터의 변동성을 뜻한다고 보면 된다.
기대치로부터의 변동성? 바로 분산이 그것이다. (혹은 분산의 제곱근인 표준편차가 그것이다)
그러면 포트폴리오의 분산은 어찌될까?
VAR(Rp) = VAR(WxRx) + VAR(WyRy) + 2Cov(WxRx, WyRy)
= VAR(WxRx + WyRy) = Wx^2 * VAR(Rx) + Wy^2 * VAR(Ry) + 2WxWyCov(Rx, Ry) 가 된다.
이해가 안간다면 맨 위의 링크를 통해 분산과 공분산의 공식을 학습하면 된다.
위의 식을 한글로 풀어서 쓰면
포트폴리오 분산(리스크) = X상품비중 제곱 * X상품수익률의 분산 + Y상품비중 제곱 * Y상품수익률의 분산
+ 2 * X상품비중 * Y상품비중 * X상품수익률과 Y상품수익률의 공분산
즉 X, Y 각각의 상품의 수익률의 분산과 각 상품 수익률 사이의 공분산을 알게되면 포트폴리오 분산을 계산가능하다.
위 식에서 1번째, 2번째 항은 X, Y 각각의 수익률의 분산인데,
포트폴리오 투자 시에는 각 상품의 투자비중의 제곱이 앞에 붙는다.
투자비중은 0과 1사이의 값이며 이것이 제곱된다면 그 값은 더욱 줄어들 것이다.
따라서 포트폴리오 투자는 각각의 상품을 몰빵투자할 때에 비해
X, Y라는 각 상품의 개별수익률의 분산은 영향력이 줄어든다.
대신 3번째 항에서 볼 수 있듯이 공분산이 새롭게 리스크의 요소로 등장한다.
그런데 이 공분산은 음수도 될수있는 값이다.
공분산 = X, Y의 상관계수 * X표준편차 * Y표준편차이며 상관관계는 -1과 1사이의 값이기 때문이다.
여기서 상관계수가 낮을수록 3번째 항의 값이 작아지며(심지어 음수가 되며)
포트폴리오의 리스크는 낮아지게 된다.
즉, 포트폴리오 위험은 각 상품의 상관관계를 낮게 구성할수록, 개별투자에 비해 확 위험을 줄일 수 있다는 것이다.
이것이 포트폴리오 이론의 핵심이다.
다른건 다 이해하지 못해도 좋다.
상품의 수익률이 서로 어긋나는 관계에 있을 때, 그 상품들을 잘 섞어서 투자하면
위험을 효율적으로 낮춘 투자가 된다.
이를 이해하고 실제 투자에 응용하면 된다.
가장 대표적인 예과 주식과 상관관계가 낮은 채권을 같이 포트폴리오로 구성해서 투자하는 것이다.
포트폴리오 분산식의 확장
위에서는 X, Y라는 두개의 상품에만 투자한다고 가정했다.
이를 확장하며 n개의 상품에 투자한다고 치자.
각각의 상품을 X1, X2, . Xn이라고 해보자.
각 상품의 수익률은 R1, R2, . Rn이라고 하자.
각 상품의 비중은 W1, W2, . Wn이라고 하자.
VAR(Rp) = W1^2 * VAR(R1) + W2^2 * VAR(R2) + . + Wn^2 * VAR(Rn) => ∑각 상품수익률분산*비중제곱
+ ∑∑WiWjCOV(Ri, Rj) (단 i와 j가 다를 때만) => 각 상품 간 공분산들의 합
으로 나타낼 수 있다.
이때 n이 커질수록(자산을 쪼개서 투자하는 투자상품 수를 늘릴수록)
W1+W2+. +Wn = 1이므로, 각각을 1/n씩 투자한다고 치면 하나하나의 비중은 굉장히 작아진다.
쪼갤수록 한 상품에 투자되는 자금이 줄어드는 것은 지극히 당연한 것이다.
안그래도 작아진 Wi(i=1, 2, . n)의 값이 제곱이 되므로 그 값은 더욱이 줄어든다.
n이 무한대로 커진다면 Wi의 제곱은 0으로 수렴할 것이며,
이것이 의미하는 것은 각 상품수익률의 변동성(분산)은 0으로 수렴한다는 것이다.
즉, 분산이 커질수록 하나하나의 개별상품의 수익률의 변동성은, 전체 포트폴리오 변동성에 미치는 영향력이 거의 없다.
그러면 VAR(Rp) = ∑∑WiWjCOV(Ri, Rj) (단 i와 j가 다를 때만) 로 나타낼 수 있을 것이다.
분산이 커질때는 개별상품 수익률의 변동성은 중요치 않고, 각 상품 수익률간의 공분산들이 포트폴리오 자산의 수 변동성을 결정한다.
자산의 수
투자에서 위험(변동성)은 통상 표준편차로 표시되는데 그 의미는 투자 자산의 확률 변수들이 기대수익률로부터 얼마나 떨어져 있는가를 나타내는 것이다. 투자 전문가들은 그런 위험을 낮추면서 수익률을 극대화시킬 수 있는 몇 가지 투자 방법 중 ‘분산 투자’를 주저 없이 권한다. 개별 자산에서 예상치 못한 고유 위험을 여러 개의 자산으로 구성되는 포트폴리오 투자를 통해서 제거할 수 있다고 알려져 있는 분산 투자도 중요한 원칙이 있다.
투자 종목의 수를 늘리되, 투자되는 종목 간에 움직임이 서로 달라야 한다는 것이다. 즉, 상관계수가 작아야 한다(상관계수: +1에서부터 -1까지의 범위를 가지며, 음의 수에 가까울수록 두 종목 간 움직임이 서로 관계가 없다는 의미임). 단순히 투자 종목의 수를 늘리는 것은 효과적인 분산 투자가 아니라는 얘기인데, 전체 투자 포트폴리오의 위험은 개별 종목 위험뿐만 아니라 투자 종목 간 상관계수에 의해 결정되기 때문이다. 계란을 한 바구니에 담지 않는 것도 중요하지만 한 바구니(포트폴리오)에 계란만을 담지 않는 것도 중요하다는 얘기다.
위 투자 사례 1의 경우는 유형이 비슷한 국내 주식형 펀드에 각각 동일한 비중으로 투자한 경우이다. 이 사례에서 알 수 있듯이 두 펀드의 상관계수가 0.98로 너무 크기 때문에 분산 효과가 전혀 없음을 알 수 있다. 개별 자산의 위험(15.자산의 수 9%, 16.1%)과 포트폴리오 전체 위험(16.0%)은 큰 차이가 없기 때문에 분산 투자를 했으나 효과를 보지 못했다.
투자 사례 2의 경우는 투자 사례 1에서 국내 주식형 펀드B를 제외하고 대신에 추가로 투자 종목 수를 늘리고 종목 간 상관계수를 고려한 분산 포트폴리오 예시이다. 우선 두자릿수의 위험 수치를 가진 종목이 3개나 있음에도 전체 포트폴리오 수익률이 8.5%로 현저하게 낮아진 것을 볼 수 있다. 국내 주식형 펀드A에만 투자했다면 11%의 연수익률을 올리면서 16%에 육박하는 변동 위험을 가졌겠지만, 포트폴리오를 통해 적절히 분산 투자함에 따라 위험(8.5%)도 절반 가까이 줄었고 수익률도 16%로 높아졌음을 알 수 있다.
다시 말해 16%라는 양호한 수익률을 올릴 확률이 안정적으로 높아졌다는 얘기인데, 이것이 바로 분산 투자의 효과이다. 위의 투자 사례에서도 알 수 있듯이 결론적으로 분산 투자는 투자 종목 수를 늘리되 종목 간 상관계수를 고려해야만 효과를 극대화시킬 수 있는 것이다.
분산 투자 효과를 탐탁지 않게 생각하는 투자자들은 위 투자사례 2의 경우에서 이머징 마켓에만 투자했다면 훨씬 더 좋은 결과를 낳지 않았겠냐고 반박할 수도 있다. 하지만 시장의 방향성을 정확히 예측하기는 거의 불가능하다.
투자라는 것은 불가피하게 위험을 동반하게 되는데 예측하기 힘들다면 위험을 최대한 낮추면서 안정적인 수익을 창출할 수 있는 방법을 찾아야 하는 것이 올바른 투자 전략이다.
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앞서 4강에서 위험프리미엄이 위험회피적인 투자자가 위험한 자산에 투자할 때 위험을 부담하는 대가로 보상받기를 원하는 크기라고 하였다. 일반적으로 위험자산의 기대수익률에서 무위험수익률을 차감한 것이 위험프레미엄이며, 이론적으로는 위험이 있는 상태와 무위험상태를 동등하게 전환해 주는 보험료로 정의하였다. 위험에 대한 태도가 회피적일수록 위험프리미엄은 커지게 된다. 이렇듯 무위험자산은 위험자산의 위험프리미엄을 결정하는데 중요한 지표가 된다. 본 강에서는 위험자산을 투자대상으로 함으로써 인해 투자자가 어떤 이득을 볼 수 있는지를 살펴볼 것이다. 이러한 분석에 앞서 본 절에서는 무위험자산의 개념을 먼저 살펴보자.
가치가 일정하지 않고 변하는 자산을 위험자산 또는 자본자산이라고 한다면 가치 자체가 변하지 않고 일정하게 유지되는 자산을 무위험자산이라 한다. 하지만 이러한 정의는 이론상의 개념이다. 현실적으론 자산의 가치가 변동하지 않는 자산은 존재하지 않기 때문이다. 따라서 재무이론에서 종종 무위험자산을 정의할 때 두 가지 위험이 없는 경우를 가정한다. 첫째, 채무불이행위험이다. 세금을 징수할 권리와 통화 공급에 대한 통제권을 갖는 정부만이 채무불이행 가능성이 없는 채권을 발행한다. 따라서 우리는 정부가 발행한 증권을 무위험자산으로 간주한다. 미국에서는 미재무부가 발행한 재정증권을 무위험자산으로 사용한다. 우리나라에서 이와 유사한 자산을 찾는다면 재정증권, 한국은행에서 발행한 통화안정증권 등이 있을 수 있다. 물론 이러한 금융자산도 여러 가지 요인에 의해 그 가치가 변동된다. 예를 들어, 인플레이션이 존재하는 경우 실질구매력이 떨어지기 때문이다. 그 외에도 환율, 외국금리 등 국제시장의 영향에 따라 그 가치는 변동되게 마련이다. 하지만 채무불이행 위험이 적다고 판단하여 무위험자산으로 사용한다.
둘째, 무위험자산의 기준은 재투자수익률이 변동되지 않는다는 것이다. 재투자수익률은 투자기간 내에 현금이 유입되었을 때 유입된 현금에 대하여 투자기간 종료까지 재투자할 때 적용하는 수익률이다. 투자기간 동안 재투자수익률이 변동되지 않는 경우 재투자위험이 없다고 하며 무위험자산으로 간주된다. 이러한 정의에 부합하는 증권은 단기국채이다. 단기국채는 종종 할인채 방식으로 발행되는데 할인채권의 경우 중간에 이자지급이 없기 때문에 투자기간이 만기와 일치한다면 매입할 때 만기보유수익률이 무위험수익률이 된다. 이 경우 물론 채무불이행위험이 존재하지 않아야 한다.
채무불이행위험과 재투자수익률위험이 없는 경우 비록 장기적으로 그 자산의 가치는 변동되더라도 무위험자산으로 간주한다. 현실적으로 이러한 두 가지 기준을 만족하는 자산도 그리 흔하지 않다. 우리는 90년대 중반부터 남미, 아시아, 러시아로 이어지는 일련의 국가의 채무불이행사태를 경험한 바 있다. 국가 역시 채무불이행위험으로부터 자유롭지 못하지만 국가는 화폐발행권이 있고 국가의 부도는 시스템적인 위기이기 때문에 다른 자산에 비해 국가가 발행하는 채권은 무위험자산의 성질에 잘 만족하는 것으로 가정한다. 이 밖에도 은행 정기예금을 무위험자산으로 취급하는 경우도 많다. 은행의 정기예금의 경우 확정금리로 만기에 상환 받을 수 있기 때문에 재투자위험이 없으며 비교적 타 증권에 비해 안전하다고 인식되기 때문이다. 하지만, IMF이후 은행의 부도를 겪으면서 채무불이행 위험이 커짐에 따라 무위험자산으로 보기 힘들어 졌다. 또한 단기금융자산에서 채무불이행위험이 비교적 낮은 CD, CP, CMA 등도 무위험자산으로 사용되는 경우도 있다. 마지막으로 국제분산투자의 경우, LIBOR 금리, 미국재정증권을 무위험수익률로 많이 이용하기도 한다.
이렇듯 무위험자산은 현실적으로 그 이론적 기준을 만족하는 자산을 찾기란 쉽지 않다. 또한 목표투자기간과 투자의 목적, 그리고 투자의 대상에 따라 사용되는 무위험자산은 다를 수 있다.
제2절 무위험자산과 위험자산 간의 자산배분
본 절에서는 위험자산과 무위험자산으로 구성된 포트폴리오 수익률과 위험의 관계를 살펴보고 그 포트폴리오 형태가 어떠한 것인지 살펴봄으로써 무위험자산이 어떤 역할을 수행하지를 살펴본다.
위험자산을 , 무위험자산을 , 위험자산에 투자비율을 라고 해 보자. 또한 위험자산의 수익률을 , 무위험자산수익률을 , 무위험자산 수익률의 표준편차를 로 정의해 보자. 이러한 투자안들로 구성된 포트폴리오( )의 수익률은 다음과 같다.
포트폴리오 기대수익률은 다음과 같이 구할 수 있다.
한편 포트폴리오의 위험인 표준편차는 다음과 같이 구할 수 있다.
[식5-1]과 [식5-2]에서 무위험자산은 이론적으로 수익률 또는 가격변동이 없는 자산이기 때문에 상수로 간주된다. 상수는 확률변수가 아니므로 평균과 표준편차가 존재하지 않는다. 그러나 현실적인 무위험자산군은 변동성이 작지만 존재하기 때문에 표준편차는 0에 가까운 수치를 보인다. 하지만 중요한 것은 위험자산과 공분산이 0이라는 조건이다. 분산이 0이고 표준편차가 근사적으로 0에 가가우면 [식5-2]는 근사적으로 성립한다.
예를 들어 보자. 위험자산의 기대수익률은 , 표준편차 그리고 무위험이자율 라고 하자. 이 위험자산 의 위험프레미엄 는 8%가 된다. 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차는 각각 다음과 같이 얻어진다.
포트폴리오 기대수익률은 무위험이자율과 포트폴리오 위험프레미엄에 투자비율을 곱한 수치를 합한 값이 된다. 여기서 투자비율은 투자자의 위험에 대한 태도에 따라 결정된다. 위험회피적인 투자자는 양의 위험프레미엄이 보장되지 않으면 위험자산에 투자를 하지 않을 것이다. 포트폴리오 표준편차는 위험자산 표준편차와 위험자산에의 투자비율에 따라 결정된다.
무위험자산이 도입됨으로 인해 앞서 4강에서 살펴 본 투자기회 집합을 살펴보자. 위험자산에 대한 투자비율을 0에서 1로 증가시키면 기대수익률과 표준편차를 두 축으로 한 그래프에 나타내 보면 [그림5-1]과 같다. 무위험자산 F는 수직축에 표시되고 위험자산 P는 기대수익률 15%, 표준편차 22%인 점에 표시된다. 투자자가 자본을 모두 P에 투자하면 w=1.0이 되고 포트폴리오는 P점이 된다. 위험자산에 전혀 투자하지 않고 무위험자산에 모든 자본을 투자하면 F 점이 포트폴리오가 된다. 그리고 위험자산 P와 무위험자산 F의 기대수익률차이는 위험프리미엄이 된다.
투자비율이 0과 1사이에 있을 경우 포트폴리오 위치는 F와 P를 연결하는 직선 사이에 놓이게 된다. 이러한 직선을 자본배분선(capital allocation line : CAL)이라고 정의한다. 자본배분선을 도출하는 방법은 간다하다. 식[5-1]과 식[5-2]는 각각 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차인데 모두 에 대해 선형식이다. 에 대해 두 식을 연립하면 다음과 같이 얻을 수 있다.
CAL은 투자자에 적용될 위험-기대수익률 관계를 나타낸다.
[그림5-1] 무위험자산과 위험자산의 포트폴리오의 기회집합
[그림5-1]의 기울기는 가 되는데 위 예에서는 가 된다. 자본배분선의 기울기는 위험 1단위를 증가시킬 때 포트폴리오 기대수익률의 증가분을 나타내며 위험보상비율이라 부르기도 한다.
위험자산과 무위험자산에 똑 같이 투자할 경우 가 되며 그 때에 이 되고 이 되며 [그림5-1]에서 F와 P의 중간지점이 될 것이다. 투자기회집합 P 오른쪽 직선은 무엇을 의미하는가? 투자자들이 무위험이자율로 차입할 수 있다면 그들은 P 오른 쪽의 포트폴리오를 구성할 수 있게 된다.
예를 들어, 어떤 투자자가 3,000,000원을 가지고 있다 하자. 7%의 이자율로 1,200,000원을 빌려서 총 4,200,000원을 위험자산에 투자한다고 가정해 보자. 이러한 경우를 차입포트폴리오라 한다.
투자비율의 부호가 음(-)일 경우에는 투자하지 않고 대주 즉 차입하였다는 것을 의미한다. 그 때 포트폴리오의 기대수익률, 위험을 구하면 다음과 같다.
예상한 대로 차입포트폴리오의 기대수익률이 높은 대신 위험자산 자체의 표준편차보다 차입포트폴리오의 표준편차가 더 크다는 것을 알 수 있다.
투자자는 주어진 제약조건하에서 자신의 효용을 최대화하는 방향으로 투자의사결정을 한다. 즉 투자자는 주어진 투자기회집하에서 자신의 효용을 극대화하는 조합(포트폴리오)을 선택하면 된다. 우리는 이전 절에서 CAL을 유도하여 자산배분비율에 따라 포트폴리오의 위험과 기대수익률이 달라짐을 살펴보았다. 기대수익률-표준편차 평면에서 그려진 자본배분선은 일종의 자원제약식과 같다. 투자자는 자신의 효용함수에 포함된 위험회피도를 고려하여 위험자산과 무위험자산에의 투자비율을 정하여야 한다. 비록 모든 투자자에게 동일한 투자기회집합이 주어져도 각 개인의 효용함수는 다르기 때문에 투자자마다의 최적투자결정은 모두 달라진다. 위험회피도가 높은 투자자는 무위험자산에의 투자비율을 높일 것이며 위험회피도가 낮은 투자자는 위험자산에 투자비율을 높일 것이기 때문이다. 본 절에서는 [그림5-1]과 같은 자본배분선 선상에서 투자자의 효용함수를 고려한 투자자의 최적 선택문제를 다룬다.
앞서 우리는 제4강에서 수익률의 확률분포가 주어진 포트폴리오에서 투자자가 얻을 수 있는 효용은 기대수익률과 수익률의 분산으로 결정됨을 보았다. 특히 다음과 같은 평균분산 효용함수 모형이 소개되었다.
기대수익률이 높아질수록, 그리고 위험인 분산이 낮아질수록 효용이 커짐을 알 수 있다. 효용이 변화된 정도는 바로 투자자의 위험회피도인 에 의해 결정된다. 위험중립형 투자자의 는 0이 된다. 위험회피도가 큰 투자자의 값은 커진다.
무위험이자율이 인 무위험자산과 기대수익률이 , 수익률의 표준편차가 인 위험자산을 투자의 대상으로 생각하고 있는 투자자가 이들 두 개의 자산으로 포트폴리오를 구성할 경우 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차가 [식5-1]과 [식5-2]에 의해 다음과 같음을 알고 있다.
투자자는 자금을 최적으로 배분하여 효용을 극대화하고자 한다. 따라서 투자자의 목적함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.
(P1)의 문제는 효용극대화 문제라고 부르며 제약식은 없는 것처럼 보이지만 자본배분선이 각각 목적함수의 대입되어 있어 제약식으로서의 역할을 한다. 효용을 극대화하기 위한 최적투자비율인 는 문제 (P1)의 목적함수를 에 대해 미분한 값이 0될 때의 값이다.
위험자산에의 최적투자비율은 위험회피도와 위험수준에는 반비례하고 위험자산의 위험프리이엄에는 비례함을 알 수 있다.
위에서 든 예를 이용하여서 위험자산에의 최적투자비율을 구해 보자, , , 그리고 투자자의 A=4라고 가정하자. 그러면 [식5-4]에 의해 다음과 같이 최적위험자산투자비율을 구할 수 있다.
다시 말해, 위험회피도가 A가 4인 투자자는 자기 투자자금의 41%를 위험자산 포트폴리오에, 그리고 59%는 무위험자산에 투자할 것이다. 그렇게 투자했을 때 투자자의 기대수익률과 수익률의 표준편차는 각각 10.28%와 9.02가 된다.
이러한 과정을 그림으로 설명하면 다음과 같다. 우리는 4강에서 위험회피도에 따라 평균분산효용함수를 사용하여 기대수익률-표준편차 평면에 무차별곡선을 사용한 바 있다. 앞 강에서도 언급된 바와 같이 무차별곡선이란 동일한 효용의 크기를 제공해 주는 기대수익률과 위험의 집합을 나타낸 곡선이다. 따라서 자본배분선 선상에서 가장 높은 효용수준을 갖는 투자집합은 자본배분선과 무차별곡선이 접하는 점이다. 왜냐면 무차별 곡선이 좌상향 방향으로 움직일수록 투자자는 높은 효용수준을 갖기 때문이다. 이러한 과정은 다음의 [그림5-2]과 같다.
[그림5-2] 투자자의 무차별곡선과 최적선택
그림과 같이 최적포트폴리오는 투자기회집합 내의 점이 되며 그리고 이점에서 가 된다. 이때의 투자비율을 구하면 이 된다. 위 그림을 통해 위험회피도가 낮은 사람이 위험자산 투자비율이 크다는 점을 알 수 있다. 4강에서 위험회피도에 따라 투자자의 무차별곡선의기울기가 다름을 살펴본 적이 있다. 다음의 [그림5-3]를 통해 다시 한 번 살펴보자.
[그림5-3] 위험회피도에 따른 최적선택
예를 들어보자. [그림5-3]에서 실선은 위험회피도가 A인 투자자의 무차별곡선을 나타낸다. 점선은 위험회피도가 낮아 A가 2인 투자자의 무차별곡선을 나타낸다. 점선의 기울기가 더 완만한 데 그 이유는 위험회피도가 더 낮기 때문이다. [그림5-3]과 같이 위험회피도가 낮은 투자자는 위험자산에 투지비율을 증가시키는 현상을 그림으로 확인할 수 있다.
종합하면 자산배분결정은 두 단계의 과정을 거쳐 이루어진다. 투자자는 먼저 자본배분선을 결정하고 자본배분선을 따라 효용이 최대가 되는 투자비율을 찾아 무위험자산에 투자한다.
제3절 위험자산의 효율적 포트폴리오
우리는 앞서 4강에서 2개의 위험자산으로 구성된 투자기회집합을 살펴 본 바 있다. 본 절에서는 위험자산이 여러 개 있는 경우, 평균-분산기준에 따라 최적포트폴리오를 구성하기 위한 위험자산간의 투자비율을 구하는 방법을 알아보자. 이를 통해 위험자산만으로 구성된 투자기회집합 중에서 최적 투자기회집합인 효율적 투자기회집합을 도출한다.
1. 위험자산의 효율적 프론티어
우리는 앞서 4강에서 포트폴리오 분산을 결정하는 가장 중요한 요소가 두 위험자산 간의 상관계수임을 확인한 바 있다. 즉 2개의 위험자산을 사용하여 기대수익률-표준편차 평면에서 상관계수에 따라 그 형태가 달라짐을 살펴보았다. 그렇다면 3개의 자산으로 구성된 투자기회집합은 어떻게 얻어지는지를 확인해 보자. [그림 5-4]는 2개의 자산으로 구성된 투자기회집합과 따른 또 하나의 자산이 포함됨으로써 변경될 투자기회집합을 나타낸다.
[그림5-4] 3개의 자산의 투자기회집합
그림에서 자산 A와 B로 구성된 투자기회집합은 두 자산 간의 상관계수에 따라 결정된다. 본 그림에서는 상관계수가 0에 가까운 형태로 가정하였다. 자산 C는 A와 B로 구성된 포트폴리오와 다시 포트폴리오를 구성함으로써 투자기회집합이 확대됨을 확인할 수 있다. 우선 자산 C와 A와 B로 구성된 포트폴리오 기회집합 안에 점 D와 연결하는 포트폴리오를 구성할 수도 있으며 점 E와 연결하는 포트폴리오를 구성할 수도 있다. 그렇게 하면 선이 아니라 면으로 된 투자기회집합이 발생하게 된다. 그림에서 음영으로 처리된 부분이 포트폴리오의 투자기회집합이다. 그렇다면 이러한 투자기회집합 중 어떤 기회집합이 유리하겠는가? 그림에서 가장 좌상단에 위치한 굵은 선이 동일한 위험에 대하여 가장 높은 기대수익을 주고, 동일한 기대수익에서는 가장 낮은 위험을 가지므로 투자기회집합으로 선택되어진다. 이렇게 가장 효율적인 투자기회집합을 효율적 프론티어라고 부른다. [그림 5-5]은 다수의 위험자산으로 구성된 효율적 프론티어를 나타낸 것이다.
[그림5-5]다수의 위험자산으로 구성된 효율적 포트폴리오
효율적 프론티어는 지배원리에 의해 결정된다. 지배원리란 동일한 위험수준에서 가장 높은 기대수익률을 작는 자산이 선택되고, 동일한 기대수익률에서 가장 낮은 위험을 갖는 자산이 선택되는 원리이다. 위험수준이나 기대수익률 수준을 증가시키면 [그림5-5]과 같은 결과가 나온다. 1951년 시카고대학의 Markowitz교수는 이런 방식으로 위험자산의 효율적 투자기회집합을 유도하는 분석적인 기법을 개발하여 발표하였고 노벨 경제학상을 수상하였다. 본 장의 효율적 포트폴리오 선택이론은 이러한 마코윗츠의 이론을 바탕으로 하고 있다. [그림 5-5]의 효율적 프론티어에서 가장 위험이 낮은 포트폴리오를 특별히 최소분산 포트폴리오라고 부른다. 최소분산포트폴리오에 대한 수식적 도출은 부록 6A를 참고하기 바란다.
2. 투자자의 위험자산 포트폴리오 선택
우리는 위에서 다수의 자산이 포함된 경우의 위험자산의 효율적 프론티어를 살펴보았다. 효율적 프론티어는 자산의 수 투자기회집합 중 가장 효율적인 투자기회집합을 의미한다. 따라서 투자자는 이러한 효율적 투자기회집합에서 어느 한 조합을 선택할 것이다. 그렇다면 선택의 기준은 무엇인가? 다수의 자산이 포함된 수학적 계산은 부록 6A를 참고하기 바라며 본 절에서는 2개의 위험자산으로 구성된 투자기회집합은 그 형태가 효율적 프론티어와 동일하기 때문에 이해를 위해서 2개 위험자산으로 구성된 사례를 통해 살펴보기로 하자.
두 개의 위험자산으로 구성된 포트폴리오의 기회집합은 두 자산 간의 상관계수에 따라 그 모양이 결정된다. [표5-1]은 자산 A와 자산B의 통계자료이다.
자산의 수
2. TDF, 어떻게 운용하는가
장기 투자. 결심도 하고 노력도 해보지만, 그게 말처럼 쉽지 않다. 동료가 어떤 종목에 투자해서 큰 수익을 냈다고 하면 부화뇌동해서 사고 싶고, 투자하자마자 수익률이 조금이라도 떨어지면 불안해 발을 동동 구른다. 결국 장기 투자를 하겠다던 굳은 결심은 온데간데 없이 사라지고, 시장에 휩쓸리고 심리에 휘둘려 샀다 팔았다 하는 자신을 발견하게 된다. 그나마 수익이라도 냈으면 다행인데, 품만 팔고 이문이 남지 않을 때가 더 많다. 장기 투자는 투자자의 의지가 필요한 영역인데, TDF를 이용하면 이 같은 의지를 강화하는 데 도움을 받을 수 있다. TDF 가입자는 목표 시점부터 정하고 투자를 한다. 이렇게 사전에 목표 시점을 정해 두면 그렇지 않았을 때보다 시장이 하락했을 때 버틸 힘이 생긴다. 가령 목표 시점이 2035년인 TDF에 가입한 투자자는 이렇게 생각할 수 있다.
‘그래, 2035년까지 투자하기로 했지. 지금이야 시장 상황이 좋지 않지만 곧 회복될 거야. 2035년까지는 아직 시간이 많이 남았잖아. 어쩌면 이럴 때가 더 싸게 투자할 수 있는 기회일지도 몰라.’ 물론 TDF 가입자가 모두 이렇게 생각하지는 않을 것이다. 그리고 목표 시점이 도래하기 전에 중도 해지를 할 수도 있다. 이 같은 선택권은 여전히 가입자에게 남아 있다. 하지만 사람들은 한번 기준을 정하면 웬만해서 바꾸려고 하지 않는 것도 사실이다. 관성의 힘이 작용하는 셈이다. 행동경제학자들은 이를 ‘기준점 효과’ 또는 ‘현상 유지 편향’으로 설명한다.
기준점 효과는 닻 내림 효과라고도 한다. 배가 어느 지점에 닻을 내리면 그 지점을 크게 벗어나지 못하고 근처를 맴도는 것처럼, 인간도 한번 각인된 정보가 있으면 이를 기준점으로 삼아서 판단하는 경향이 있다는 사실을 설명한 이론이다. 그리고 사람들은 한번 시작한 행동을 웬만해서 바꾸려고 하지 않는데, 이를 현상 유지 편향이라고 한다. 편향이란 말은 한쪽으로 치우쳤다는 의미를 갖기 때문에 부정적인 어감이 있다. 하지만 반드시 그렇지는 않다. 편향을 잘 활용하면 사람들을 강제하지 않으면서 더 좋은 선택을 할 수 있도록 유도할 수 있는데, 행동경제학자들을 이를 ‘넛지Nudge’라고 한다. 넛지는 ‘팔꿈치로 쿡쿡 찌르다’는 뜻인데, 사람들에게 어떤 행동을 하라고 강제하지는 않으면서도 편향을 활용해 부드럽게 개입해서 더 나은 선택을 하도록 만든다. TDF 가입자들은 투자를 시작하기 전에 목표 시점부터 정하는데, 이는 일종의 닻처럼 기준점을 설정해 두는 효과를 갖기 때문에 장기 투자를 유도하는 효과가 있다. 연금 자산 관리에 성공하려면 장기 투자, 분산 투자, 리밸런싱이 필요하다. TDF를 선택하면 장기 투자를 할 수 있는 기틀을 갖게 된다. 이제 분산 투자와 리밸런싱이 남았다. 장기 투자가 투자자의 의지가 필요한 영역이라면, 분산 투자와 리밸런싱은 TDF를 운용하는 자산운용사의 영역이라고 할 수 있다. 왜냐하면 TDF 자체에서 국내외 다양한 자산에 분산해 포트폴리오를 구성하고 있을 뿐만 아니라, 글라이드 패스에 따라 지속적으로 자산 간 비중을 조정해 나가기 때문이다.
전통 자산에만 투자할 것인가, 대체 자산에도 투자할 것인가
투자 대상 자산은 크게 둘로 나눌 수 있다. 흔히 주식과 채권 등을 전통 자산이라고 하고, 원자재와 부동산 등을 대체 자산이라고 한다. 과거에는 전통 자산에만 투자하는 펀드가 많았다. 주식과 채권 이외의 자산에는 투자를 하려고 해도 마땅한 수단이 없기도 했지만, 전통 자산에만 투자해도 충분한 분산 효과를 얻을 수 있었기 때문이다.
전통적으로 주식과 채권은 낮은 상관관계를 보여왔다. 둘 중 하나가 변할 때 다른 하나도 따라 변화하면 상관관계가 있다고 한다. 이때 두 자산의 가격이 같은 방향으로 움직이면 양 (+)의 상관관계가 있다고 하고, 반대 방향으로 움직이면 음(-) 의 상관관계가 있다고 한다. 따라서 상관관계가 낮거나 음의 상관관계를 보이는 자산에 분산 투자하면 포트폴리오의 변동성을 낮출 수 있다.
하지만 최근 들어 주식과 채권 가격이 함께 오르거나 내리는 일이 자주 발생하고 있다. 이런 동조화 현상이 잦아지면서 이들 전통 자산의 가격과는 다른 방향으로 움직임을 보이는 대체 자산에 투자하는 펀드가 하나둘 등장하기 시작했다. 여기에는 금융 규제 완화와 IT 기술의 발달로 대체 자산에 투자하는 상품이 다양해진 것도 한몫했다. 대체代替라는 말은 ‘대신할 만한 것으로 바꾼다’는 뜻이다. 따라서 대체 투자란 기존의 투자를 대신하는 새로운 투자라고 할 수 있고, 대체 투자 자산이란 주식과 채권을 제외한 모든 투자 자산을 말하다. 여기에는 원유나 구리와 같은 원자재도 있고, 부동산과 인프라 자산도 해당된다. 대체 투자 자산의 가격은 전통 자산의 가격 등락과 전반적으로 낮은 상관관계를 보인다. 따라서 주식과 채권에 대체 투자 자산까지 편입해 포트폴리오를 구성하면 변동성을 낮출 수 있다. 대표적인 장기 투자 기관이라고 할 수 있는 해외 주요 연기금들이 주식과 채권뿐 아니라 대체 자산에 일정 부분 이상 자금을 배분하는 것도 이 때문이다.
그러면 다시 본론으로 돌아가서, 국내 TDF가 어떤 자산에 투자하는지 살펴보자. 먼저 전통 자산에만 투자하는 TDF가 있 다. 주식과 채권 자산만 편입하기 때문에 포트폴리오 구성이 용이하다는 것이 가장 큰 장점이다. 하지만 앞서 살펴봤듯이, 주식과 채권의 가격 움직임이 동조화하는 일이 잦아지면서 분산 투자 효과가 약화되고 있는 것은 단점이다. 그래서 전통 자산과 상관관계가 낮은 원자재를 포트폴리오에 함께 편입해서 투자하는 TDF도 있다. 원자재를 활용하면 인플레이션 헤지가 용이해진다. 하지만 주식과 채권에 비해 원자재는 가격 변동이 극심하다. 특히 원자재 가격은 짧은 기간에 가파르게 상승했다가 오랫동안 하락하는 모습을 보일 때가 많다. 따라서 원자재를 포트폴리오에 편입하는 경우에는 이 같은 특성을 이해하고 세심하게 관리해야 한다. 마지막으로 전통 자산과 원자재 이외에 부동산과 인프라 자산에도 투자하는 TDF가 있다. 포트폴리오에 부동산을 편입하면 어떤 효과를 얻을 수 있을까? 오랫동안 부동산은 주식과 아주 낮은 상관관계를 보여왔고, 채권과는 음의 상관관계를 보였다. TDF는 목표 시점이 가까워질수록 포트폴리오 내 채권 비중이 높아진다. 따라서 목표 시점을 앞두고 채권의 기대 수익이 좋지 않을 것으로 예상될 때 이를 부동산이 보완해 줄 수 있다. 그리고 부동산은 주식처럼 장기적으로 자산 가격 상승을 기대할 수 있는 동시에 채권 이자와 같은 임대 수입도 확보할 수 있다.
물론 투자 대상 자산이 늘어나면 포트폴리오를 구성하고 관리하는 일이 복잡해질 수밖에 없다. 그리고 부동산과 인프라 자산은 규모가 커서 이를 편입하려면 운용 자금 규모가 상당해야 한다. 하지만 장점도 있다. “공구 상자에 망치밖에 없으면 모든 문제가 못으로 보인다.”라는 말이 있다. 하지만 망치 외에도 다양한 공구가 있으면 문제에 맞는 공구를 가지고 효율적으로 대응할 수 있다. 마찬가지로 포트폴리오 내에 특성이 다른 여러 종류의 자산이 다양하게 있으면 금융 시장의 국면 변화에 맞춰 다양한 전략을 구사할 수 있다.
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